सही जवाब है (C) 9 वर्ष। पुत्र की आयु = \(x\) माना, पिता की आयु = \(5x\)। आयु का योग: \(x + 5x = 54 \Rightarrow 6x = 54 \Rightarrow x = 9\)। पुत्र की आयु = 9 वर्ष, पिता की आयु = 45 वर्ष। सत्यापन: \(45 = 5 \times 9\) ✓, और \(45 + 9 = 54\) ✓ याद रखो: 'योग' और 'अनुपात' की शर्तों से समीकरण बनाएँ। अज्ञात के लिए हल करें।

सही उत्तर (B) है। लाभ का अनुपात = \(160:1690 = 16:169\)। राजीव का हिस्सा ₹720 है, तो कुल लाभ = \(720 \times \frac{16+169}{16} = 720 \times \frac{185}{16}\) = ₹8,325।

सही उत्तर (C) है। क्रय मूल्य = \(\frac{85.50}{1.125}\) = ₹76 है। नए विक्रय मूल्य ₹81.70 पर लाभ = \(81.70 - 76\) = ₹5.70, अतः लाभ प्रतिशत = \(\frac{5.70}{76} \times 100\) = 7.5% होगा।

सही उत्तर (B) 40 है। 19 फरवरी से 20 अप्रैल 2024 तक: 10 (फरवरी, लीप वर्ष) + 31 (मार्च) + 20 (अप्रैल) = 61 दिन। चूंकि 2024 लीप वर्ष है, हर में 366 दिन लेंगे। साधारण ब्याज = \(\frac{4000 \times 6 \times 61}{100 \times 366}\) = ₹40।

सही उत्तर (C) ₹5,495 है। अमित और दीक्षा का लाभ अनुपात \(2,100 : 3,900 = 7 : 13\) है, जो उनके निवेश अनुपात के बराबर है। अतः अमित का निवेश = \(\frac{7}{20} \times 15,700 = ₹5,495\)।

सही जवाब: (B) 31 वर्ष दिया गया: भाई अपनी बहन से 6 वर्ष बड़ा है। दोनों की वर्तमान आयु का योग 38 वर्ष है। चरण 1: मान लें बहन की वर्तमान आयु = \(x\) वर्ष, तो भाई की आयु = \(x + 6\) वर्ष। चरण 2: योग से समीकरण बनाएँ: \(x + (x + 6) = 38\) \(\Rightarrow 2x + 6 = 38\) \(\Rightarrow 2x = 32\) \(\Rightarrow x = 16\) बहन की वर्तमान आयु = 16 वर्ष। चरण 3: 15 वर्ष बाद बहन की आयु = \(16 + 15 = 31\) वर्ष। बाकी विकल्प क्यों गलत: (A) 33 — यह 17 वर्ष बाद की आयु होगी (C) 30 — यह 14 वर्ष बाद की आयु होगी (D) 32 — यह 16 वर्ष बाद की आयु होगी परीक्षा टिप: आयु के सवालों में बहन की आयु को \(x\) मानकर समीकरण बनाएँ, फिर "कितने वर्ष बाद" पूछे गए वर्ष वर्तमान आयु में जोड़ दें।

सही जवाब: (A) 3 दिया गया: दो संख्याओं का म.स.प. (HCF) = 23, योग = 161 चरण 1: मान लें संख्याएँ \(23a\) और \(23b\) हैं (जहाँ \(a\) और \(b\) सहअभाज्य हैं) \(23a + 23b = 161\) \(\Rightarrow 23(a + b) = 161\) \(\Rightarrow a + b = 7\) चरण 2: सहअभाज्य जोड़ियाँ ढूंढें जिनका योग 7 हो: \((1, 6) \Rightarrow 23\) और \(138\) ✅ \((2, 5) \Rightarrow 46\) और \(115\) ✅ \((3, 4) \Rightarrow 69\) और \(92\) ✅ तीनों जोड़ियाँ सहअभाज्य हैं, इसलिए कुल संभव जोड़ियाँ = 3। बाकी विकल्प क्यों गलत: (B) 1 — एक से अधिक जोड़ियाँ बनती हैं (C) 2 — एक जोड़ी छूट जाती है (D) 4 — इतनी जोड़ियाँ नहीं बनतीं परीक्षा टिप: म.स.प. वाले सवालों में संख्याओं को \(\text{HCF} \times a\), \(\text{HCF} \times b\) लिखें, फिर सहअभाज्य जोड़ियाँ गिनें।

सही जवाब: (D) ₹1,000 दिया गया: आय का 60% बचत करता है। खर्च = ₹400। आय = ? समझ: अगर 60% बचता है, तो 40% खर्च होता है। गणना: 40% of आय = ₹400 आय = \(400 \div 0.40 = 400 \times 2.5 = ₹1,000\) जाँच: 60% of 1,000 = 600 (बचत) 40% of 1,000 = 400 (खर्च) कुल = 1,000 ✓ बाकी विकल्प क्यों गलत हैं: - (A) 160 — इसका 40% = 64 होता है, 400 नहीं। - (B) 1,040 — इसका 40% = 416 होता है, 400 नहीं। - (C) 240 — इसका 40% = 96 होता है, 400 नहीं। परीक्षा टिप: बचत% + खर्च% = 100%। जब राशि दी हो, तो: आय = राशि \(\div\) (प्रतिशत/100)। बजट से संबंधित ऐसे सवाल बहुत आते हैं।

सही जवाब: (A) ₹6,73,365 दिया गया: शुरुआती मूल्य = ₹5,50,000। क्रमिक वृद्धि: 2021 में 5%, 2022 में 6%, 2023 में 10%। पहला तरीका (वर्ष-दर-वर्ष): 2021 के अंत में = \(5,50,000 \times 1.05 = 5,77,500\) 2022 के अंत में = \(5,77,500 \times 1.06 = 6,12,150\) 2023 के अंत में = \(6,12,150 \times 1.10 = 6,73,365\) दूसरा तरीका (सीधा गुणा): अंतिम मूल्य = \(5,50,000 \times 1.05 \times 1.06 \times 1.10 = 5,50,000 \times 1.2243 = 6,73,365\) बाकी विकल्प क्यों गलत हैं: - (B) 6,75,900 — गणना में त्रुटि। - (C) 6,75,365 — लगभग ₹2,000 अधिक। - (D) 6,75,800 — दूसरी गणना त्रुटि। परीक्षा टिप: क्रमिक प्रतिशत को गुणा किया जाता है, जोड़ा नहीं जाता। \(5+6+10 = 21\%\) नहीं, बल्कि 22.43% होता है। हर साल \((1 + \text{दर}/100)\) से गुणा करें।

सही जवाब: (D) 80% दिया गया: अंकित मूल्य = ₹3,650। विक्रय मूल्य = ₹730। बट्टा % निकालें? चरण 1: बट्टा = अंकित - विक्रय = \(3650 - 730 = ₹2920\) चरण 2: बट्टा % \(= \frac{\text{बट्टा}}{\text{अंकित}} \times 100 = \frac{2920}{3650} \times 100\) चरण 3: \(\frac{2920}{3650} = \frac{4}{5} = 0.8 = 80\%\) सत्यापन: 3,650 का 80% = 2,920 (बट्टा) ✓। विक्रय = \(3650 - 2920 = 730\) ✓ बाकी विकल्प क्यों गलत: - (A) 78% - बट्टा 2,847 देगा, विक्रय = 803 - (B) 79% - बट्टा 2,883.5 देगा, विक्रय = 766.5 - (C) 82% - बट्टा 2,993 देगा, विक्रय = 657 परीक्षा टिप: बट्टा % \(= \frac{\text{बट्टा}}{\text{अंकित}} \times 100\)। हमेशा अंकित मूल्य से भाग दें, विक्रय मूल्य से नहीं। यह सबसे आम गलती है जो छात्र करते हैं।

सही जवाब: (B) 6 घंटे दिया गया: पाइप A 18 घंटे में भरता है। पाइप B 24 घंटे में भरता है। दोनों खुले, टंकी 16 घंटे में भर जाती है। A को कब बंद करें? चरण 1: दरें: \(A = \frac{1}{18}\), \(B = \frac{1}{24}\), संयुक्त \(= \frac{1}{18} + \frac{1}{24} = \frac{7}{72}\) चरण 2: मानें \(x\) = घंटे जब दोनों खुले। फिर: \(x \cdot \frac{7}{72} + (16 - x) \cdot \frac{1}{24} = 1\) पूरी टंकी चरण 3: \(\frac{7x}{72} + \frac{16 - x}{24} = 1\) चरण 4: 72 से गुणा करें: \(7x + 3(16 - x) = 72 \Rightarrow 7x + 48 - 3x = 72 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6\) सत्यापन: दोनों 6 घंटे \(= 6 \times \frac{7}{72} = \frac{7}{12}\)। B अकेला 10 घंटे \(= 10 \times \frac{1}{24} = \frac{5}{12}\)। कुल \(= \frac{12}{12} = 1\) ✓ बाकी विकल्प क्यों गलत: - (A) 8 घंटे - कुल समय < 16 घंटे देगा - (C) 9 घंटे - कुल < 16 घंटे देगा - (D) 7 घंटे - कुल < 16 घंटे देगा परीक्षा टिप: संयुक्त काम + एकल काम = पूरा काम। हमेशा समाधान की जांच करें।

सही उत्तर (C) 0.6 मिनट है। समान दिशा में सापेक्ष गति \(= 130 - 100 = 30\) किमी/घंटा \(= \frac{25}{3}\) मी/से। तय करने योग्य कुल दूरी \(= 160 + 140 = 300\) मी। समय \(= 300 \div \frac{25}{3} = 36\) सेकंड \(= 0.6\) मिनट।

सही जवाब: (C) 52 चरण 1: सभी प्रेक्षणों को जोड़ें \(76 + 28 + 79 + 17 + 33 + 95 + 83 + 30 + 27 = 468\) (जोड़ी बांधकर जांच करें: \((76+27) + (28+30) + (79+17) + (95+33) + 83 = 103+58+96+128+83 = 468\)) चरण 2: प्रेक्षणों की संख्या गिनें \(n = 9\) चरण 3: समांतर माध्य = कुल योग \(\div\) प्रेक्षणों की संख्या \(\text{समांतर माध्य} = 468 \div 9 = 52\) बाकी विकल्प क्यों गलत: - (A) 61 - यह \(549 \div 9\) होगा, जो गलत योग है - (B) 46 - यह \(414 \div 9\) होगा, जो गलत योग है - (D) 47 - यह योग में गणना त्रुटि से आया है परीक्षा टिप: समांतर माध्य = कुल योग \(\div\) संख्या। जोड़ी बांधकर जोड़ें ताकि त्रुटि कम हो। भाग देने से पहले हमेशा प्रेक्षणों की संख्या दोबारा जांच लें। आम गलती: विद्यार्थी 8 प्रेक्षण गिनते हैं 9 के बजाय।

सही उत्तर (D) है। अंदर से हल करें: \(\frac{5}{2}\) − \(\frac{1}{12}\) = \(\frac{29}{12}\); फिर 0.5 × \(\frac{29}{12}\) = \(\frac{29}{24}\); धनु कोष्ठक: \(\frac{5}{4}\) − \(\frac{29}{24}\) = \(\frac{1}{24}\); वर्ग कोष्ठक: \(\frac{13}{4} \div \frac{1}{24}\) = 78; हर: 5 × \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{1}{3}\); अंतिम: 78 \(\div \frac{1}{3}\) = 234।

सही उत्तर (A) है। A की कार्य दर \(= \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12}\) प्रति दिन, अतः A अकेले एक काम 12 दिन में करता है। दोगुने काम के लिए A को \(12 \times 2 = 24\) दिन लगेंगे।

सही जवाब है (B) 39 वर्ग इकाई। शोलेस सूत्र से: क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |\sum(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)|\)। शीर्ष P(0,0), Q(6,0), R(8,3), S(4,7), T(0,4) के लिए: क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} |(0 \times 0 - 6 \times 0) + (6 \times 3 - 8 \times 0) + (8 \times 7 - 4 \times 3) + (4 \times 4 - 0 \times 7) + (0 \times 0 - 0 \times 4)|\) = \(\frac{1}{2} |0 + 18 + 44 + 16 + 0| = \frac{1}{2} \times 78 = 39\) वर्ग इकाई। याद रखो: शोलेस सूत्र किसी भी बहुभुज पर चलता है — शीर्षों को क्रम में रखो और क्रॉस गुणनफल \(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\) जोड़ दो।

सवाल: कौन सा अनुपात \(3:2\) के बराबर है? विकल्प जाँचो: A) \(53:38 \rightarrow \frac{53}{38} \approx 1.394\) ✗ B) \(54:36 \rightarrow 54 \div 18 = 3,\ 36 \div 18 = 2 \rightarrow 3:2\) ✓ C) \(52:34 \rightarrow \frac{52}{34} \approx 1.529\) ✗ D) \(51:37 \rightarrow \frac{51}{37} \approx 1.378\) ✗ तेज़ तरीका: \(3:2 = 1.5\) दशमलव में। \(54 \div 36 = 1.5\) सही उत्तर = B \((54:36)\)

सही जवाब है (A) 216.8 \(\text{cm}^2\)। CSA = TSA का \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{2}{5} \times 542 = \frac{1{,}084}{5} = 216.8 \text{ cm}^2\)। जाँच: दोनों सिरे = \(542 - 216.8 = 325.2\) (यह TSA का \(\frac{3}{5}\) है), अनुपात \(216.8 : 325.2 = 2 : 3\) ✓ याद रखो: TSA = CSA + \(2\pi r^2\) (ओर की सतह + ऊपर-नीचे के गोल भाग)।

माना संख्या = \(x\)। \(0.2x + 96 = x \Rightarrow 96 = 0.8x \Rightarrow x = 120\)। 120 का 75% = \(0.75 \times 120 = 90\)।

TSA = \(2\pi r^2 + 2\pi rh\)। दो फलक = \(2\pi r^2\)। दिया: TSA = \(4 \times 2\pi r^2\) → \(2\pi rh = 6\pi r^2\) → \(h = 3r\)। आयतन: \(\pi r^2 h = 3\pi r^3 = 192\pi\) → \(r^3 = 64\) → \(r = 4\)। \(h = 3 \times 4 = 12\) cm।